TABLAS DE VERDAD. EXPLICACIÓN Y EJERCICIOS.

unidad #1

lógica matemática 

proposiciones

• Forma de simbolizar una proposición.
• Proposición simple.
• Valor de verdad de una proposición.
• Ejemplos.
• Proposiciones compuestas y conectivos lógicos.
• Negación de una proposición.
• Conjunción.
• Valor de verdad de la conjunción.
• Disyunción.
• Valor de verdad de una disyunción.
• Disyunción exclusiva.
• Implicación o condicional.
• Valor de verdad de la implicación.
• Equivalencia o bicondicional.
• Valor de verdad de la equivalencia
• Tablas de verdad.
• Tautologías.
• Contradicción.
• Funciones proposicionales.
• Proposiciones con cuantificadores.
• Negación de proposiciones con cuantificaciones.

1. PROPOSICIONES:

Son enunciados que en un contexto determinado o en una teoría se pueden calificar como verdaderas o falsas.

Para designar una proposición se utilizarían las letras minúsculas.

p, q , r, s

Ejemplo:

a. p: El pentágono tiene 6 lados.

b. q: Colombia tiene dos mares.

c. r:¿Cuál es tu nombre?.

d. s: ¡Él lo hizo!

e: t: 3/4 de 12 es 9.

f. o: Estoy de acuerdo!Observación: Las opiniones, preguntas, órdenes y exclamaciones no son consideradas proposiciones.

Proposición SIMPLE:

Es aquella que se forma sin utilizar términos de enlace.

Ejemplo:      p: Hoy es jueves

q: 7 elevado a la 3=343

Valor de verdad de una proposición, (V) O (F).

Se pueden calificar como verdaderas o falsas.

Ejemplo: -4 es mayor que -3 (F)

2*π*r es la longitud de la circunferencia (V)

Hoy llueve en Medellín.

Para todas las personas que habitan en Medellín no tiene el mismo valor de verdad.

Ejercicio: Determine el valor de verdad de cada proposición simple.

1. p: Los elefantes vuelan.
2. q: Lina tiene 7 annos.
3. r: Raíz cuadrada de -9 es un número real.
4. 7 es factor de 84.

PROPOSICIONES COMPUESTAS Y CONECTIVOS LÓGICOS


Las proposiciones compuestas son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples ligadas por un conector

• Es un rectángulo si y sólo si tienen 4 ángulos rectos.
• Viajamos de día o viajamos de noche.
• Si el perímetro aumenta, entonces el área se duplica.
• 8 es un número par y 8 es divisible por 2.

Los conectores y, o. entonces, si y sólo si, permiten unir dos preposiciones simples.

Son proposiciones que son verdaderas por definición.

Ejemplo: 
 El todo es mayor que las partes

Dos cosas iguales a una tercera son iguales entre si.

El método deductivo permite partir de un conjunto de hipótesis y llegar a una conclusión.

En matemáticas, la deducción es un proceso concatenado de la forma:

Si A entonces B, si B entonces C, si C entonces D… hasta llegar a una conclusión.

TEOREMA: Es el conjunto de hipótesis mas la demostración, hasta llegar a una conclusión.


Ejercicios: Formar proposiciones compuestas, a partir de proposiciones simples.

• Este mes me voy a trabajar.
• Este mes me muero de hambre.
• Vivo en Lima.
• Vivo en Madrid.
• Estudio matemáticas.
• Puedo ensenar matemáticas.

POSIBILIDADES LÓGICAS.

Una proposición simple p sólo tiene dos posibilidades, o es verdadera o es falsa.

Dos proposiciones Simples forman una compuesta

Tres proposiciones tendrán 2 elevado a la 3 =8 

En general el número de proposiciones simples que se tienen es “n”, entonces el número de posibilidades es 2 elevado a la n.


NEGACIÓN DE UNA PROPOSICIÓN


La negación es el conectivo lógico que permite cambiar el valor de verdad de una proposición.
Si p es verdadero (V)
Su negación ¬p es falsa (F)
¬p se lee no p.


Ejemplo:
  Negar las siguientes proposiciones simples:
p: Todos los números primos son pares.
q: No todos los triángulos son isóceles.
r: -15+18=7

Solución:
¬p: No todos los números primos son pares.
¬q: Todos los triángulos son isóceles.
¬r:-15+18+ 7

¿Cuál es el resultado de ¬(¬p)?

Observación: Si una proposición p es verdadera, su negación es falsa y viceversa.

LA CONJUNCIÓN (p ^ q) símbolo lógico ^.


La proposición p ^q es verdadera únicamente si p y q son verdaderas, los demás casos p y q es falsa.

EjemPlo: Juanita, podrás salir a la calle cuando arregles la cama y limpies los muebles.

TABLA DE VERDAD DE LA CONJUNCIÓN

 

COMO LLENAR UNA TABLA DE VERDAD  PASO A PASO

TABLAS DE VERDAD. EXPLICACIÓN Y EJERCICIOS.

Una vez que hemos simbolizado un razonamiento; es decir, que hemos traducido el lenguaje natural al lenguaje formal, debemos comprobar si dicho razonamiento es válido o no. Para ello podemos servirnos de las tablas de verdad y de las deducciones lógicas.

Ahora vamos a ocuparnos de las tablas de verdad.

1) Partimos de que cada variable proposicional puede ser verdadera o falsa. V o F

2) Cuando tenemos más de una variable, las combinaciones de valores de verdad serán varias. Para saber cuántas combinaciones de valores de verdad podemos obtener, elevamos 2 al número de variables distintas que aparezcan. Colocamos dichos valores repartíéndolos por la mitad en la primera variable, por la mitad de esta en la siguiente, etc..

ejemplo:

 [ ( p   -->   q)   ^   ¬ q]    -->    ¬ p 

       

          V          V

          V           F

           F          V

           F           F 

3) Resolvemos las tablas de verdad de las fórmulas no afectadas por el conector dominante. Se llama conector dominante al que separa las premisas de la conclusión.

Para ello tenemos que saber que:

a) El negador cambia el valor de verdad de la variable o fórmula a la que afecta. Si aplicamos esto a la fórmula que estamos resolviendo, tendríamos:

        [ ( p   -->   q)   ^   ¬ q]    -->    ¬ p 

       

          V          V              F               F

          V           F             V               F

           F          V              F              V

           F           F             V              V

b) El conjuntor solo es verdadero cuando son verdaderas las dos variables o fórmulas que enlaza.

c) El disyuntor solo es falso cuando son falsas las dos variables o fórmulas que enlaza.

d) El condicional sólo es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente  es falso.

e) El bicondicional es verdadero cuando antecedente y consecuente tienen el mismo valor de verdad y falso cuando antecedente y consecuente tienen distinto valor de verdad.

ejemplo:
  Si aplicamos estas reglas al ejemplo que tenemos entre manos, tendremos:

       [ ( p    -->     q)   ^   ¬ q]    -->    ¬ p 

       

          V    V      V            F                F

          V     F      F           V                F

           F    V      V           F               V

           F    V      F           V               V

Una vez resuelto el paréntesis, hago la tabla de verdad de la fórmula que está entre corchetes. Y así:

      [ ( p    -->     q)   ^   ¬ q]    -->    ¬ p 

       

          V    V      V     F      F              F

          V     F      F     F      V              F

           F    V      V     F      F             V

           F    V      F     V      V             V

4) Resolvemos la tabla de verdad de la fórmula afectada por el conector dominante. Y así:

       [ ( p    -->     q)   ^   ¬ q]        -->    ¬ p 

       

          V    V      V     F      F        V        F

          V     F      F     F      V        V        F

           F    V      V     F      F        V       V

           F    V      F     V      V        V       V

Puede ocurrir que el resultado final sea siempre verdadero, como en este ejemplo, y eso se llama una TAUTOLOGÍA;que el resultado final sea a veces verdadero y a veces falso, y eso se llama INDETERMINACIÓN; y, por último, que todos los resultados sean falsos y eso se llama una contradicción.

Ahora practica tú con las fórmulas siguientes:

[(p V q) ^ ( p--> r) ^ ¬ r] --> q

[ ((p ^ ¬ q) ^ ( q --> r)) ^ ¬ r] --> p

LA DISYUNCIÓN

Símbolo gramatical: o
Símbolo lógico: v

La disyunción inclusiva es verdadera cuando al menos una de las proposiciones sea verdadera y es falsa cuando todas las proposiciones simples sean falsas.

 
Ejemplo: Juanita, te dejo salir a jugar cuando arregles la cama o sacudas el polvo.

TABLA DE VERDAD DE LA DISYUNCIÓN

 

DISYUNCIÓN EXCLUSIVA
La proposición p v q cuando únicamente una de las proposiciones es verdadera y la otra falsa.
         EJEMPLO:   El número 3 o es divisor de 6 o divisor de 10.

TABLA DE VERDAD

m v n
V

La proposición m es verdadera y la proposición n es falsa luego m v n es verdadera.
Ejemplo: 18 es múltiplo de 6 ô 18 es múltiplo de 5. 
p (V) ; q (F) por lo tanto p v q es verdadera.


EL CONDICIONAL Y LA IMPLICACIÓN

Es una proposición compuesta por proposiciones simples unidas mediante el conectivo lógico:
“Si… entonces…”  que se simboliza =>. p=>q
p se denomina antecedente y q se llama consecuente.


VALOR DE VERDAD DE LA IMPLICACIÓN


La proposición p => q es falsa únicamente si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. En los demás casos es verdadera.

TABLA DE VERDAD

OBSERVACIÓN: Todo condicional no es una implicación.
Ejemplo: Si el mar es dulce entonces 3 es un número impar.

1. Si estudias entonces irás al paseo.
2. Si x+3=5, entonces x=2.
3. Si ABC es un triángulo, entonces el ángulo A mas el ángulo B mas el ángulo C es igual a 180 grados.
4. Si ha llovido entonces las calles están mojadas.

Cada uno de estos enunciados reciben el nombre de condicional.


BICONDICIONAL Y DOBLE IMPLICACIÓN


Forma gramatical: si y sólo si
Símbolo lógico: <=>


Ejemplo: x es un número par si y sólo si x es múltiplo de 2.
p: x es un número par.
q: x es múltiplo de 2.


p=>q ^q=>p.


VALOR DE VERDAD DE LA EQUIVALENCIA.


La proposición p <=> q es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas o ambar proposiciones son falsas.

TABLA DE VERDAD

Ejemplo: r <=> s : A es un polígono de 4 lados si y sólo si A es un cuadrilátero.

r es verdadera, s es verdadera.

Nota cuando el condicional es verdadero se acostumbra a decir que las proposiciones que intervienen son equivalentes,

Ejemplos generales:

1. Sabemos que p es falsa, q es verdadera y r es falsa. ¿Cuál será el valor de verdad de la proposición:

q =>(p ^ r) ? = F

.          .

.          .

.          .

V   =>  F = F

Luego q =>(p ^ r) = F

2. Si el valor de verdad de la preposición p => ¬q es falso. ¿Cuál será el valor de verdad de ¬q ^ p?

q => ¬q

.

.

.

V   => F

Si q es verdadera, entonces ¬q es falsa

Si ¬p es falsa, entonces p es verdadera

¬q  ^  p

F ^ V

F

Luego las proposiciones:

q=> ¬p <=> ¬q ^ p

F        V        F

VALOR DE VERDAD DEL BICONDICIONAL

Nos basaremos en el valor de verdad del condicional para poder determinar el valor de verdad del bicondicional.

Si (p <=> q) ^(q <=> p) es equivalente a p <=> q.

La proposición (p => q) ^(q => p) es lógicamente equivalente a (p <=> q) ^(q <=> p)

El bicondicional es verdadero cuando las proposiciones que interviene tienen el mismo valor de verdad.

2. Sabiendo que p es falso, q es verdadero y r falso. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas.

a) ¬ (p => ¬q ) <=> (p ^q)

¬ (F => F)  <=> (F ^ V)

¬ (V)      <=>  F

F  <=>  F

V

b) p => (q ^ r)

c) ¬p => (¬p ^ q)

d) (¬p ^ ¬q) => (p v r)

e) (¬q ^ r) v (q v ¬r)

f) (r ^ ¬r ) v r

3. Escribir la proposición dada en la forma si p entonces q determina su valor de verdad.

a) Los pájaros son aves.

b) Sólo las rectas no paralelas se cortan.

c) Sólo las rectas perpendiculares forman ángulos rectos.

SIGNOS DE PUNTUACIÓN O AGRUPACIÓN

1. Los paréntesis ( ).
2. Los corchetes [ ].
3. Las llaves { } son signos de puntuación o agrupación cuya función en el lenguaje corriente es separar unas proposiciones de otras.

Ejemplo: En la proposición compuesta:

a) p ^ ( q v r) ; ^ es el conector principal.

b) p => (p v r) ; => es el conector principal.

c) p => (p ^ r) ; => es el conector principal

Ejemplo: Escribir simbólicamente las proposiciones siguientes.

a) 2 es número par y 21 es múltiplo de 3 o 5 es la raíz cuadrada de 10.

Solución:

• p: 2 es número par.
• q: 21 es múltiplo de 3.
• r: 5 es la raíz cuadrada de 10.

(p ^ q) v r

b) Si 5 multiplicado por 12 es 60, y 3 es el cuadrado de 9, entonces, estudio o juego ajedrez.

Solución:

• p: 5 es multiplicado por 12 es 60.
• q: 3 es el cuadrado de 9.
• r: estudio.
• s: juego ajedrez.

(p ^ q) => (r v s)

VALORES DE VERDAD DE PROPOSICIONES COMPUESTAS

Ejemplo: Supongamos que se quiere determinar que la proposición (¬p ^ q) es equivalente a (p => ¬r) suponiendo que:

• p: es falsa.
• q: es verdadera
• r: es verdadera

p, q, r, (¬p ^ q) <=> (p => ¬r).

TABLAS DE VERDAD

Son utilizadas para establecer el valor de verdad de proposiciones compuestas.
Ejemplo: Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones compuestas:
a) ¬(p ^ q) v ¬(q <=> p)
b) [(p => q) ^ p] => q

A v B

TAUTOLOGÍAS

Es una proposición compuesta siempre verdadera, sin importar el valor de verdad que tengan las proposiciones simples que la componen.

Ejemplos:

Comprobar por medio de una tabla de verdad que las siguientes proposiciones compuestas son tautologías.

1. p v ¬p.
2. [p ^ (p => q)] => q.
3. (p v q) <=> (q v p).
4. (p => q) <=> (¬q => ¬p).
5. [(p => q) ^ (q => r)] = (p => r).

CONTRADICCIONES

Es una proposición compuesta siempre falsa sin importar el valor de verdad que tengan las proposiciones que la componen.

Ejemplo: Comprobar que la proposición (p ^ ¬p) es una contradicción.

¬(p v q) ^ ¬(q => p)

Nota: Cuando en la tabla de verdad de una proposición aparecen valores (V) y (F) se dice que la proposición es incierta o indeterminada.

Ejercicio:

Elaborar la tabla de verdad de las siguientes proposiciones  y decir en casa caso si se trata de una tautología, una contradicción o una indeterminación.

a) ¬(p => ¬q) <=> (p ^ q).

b) (p ^ ¬q) <=> (¬p v q).

c) p => (q ^ r).

d) ¬p => (¬p ^ q).

e) (¬p ^ ¬q) => (p v q).

f) (p => q) => ¬p.

g) (¬q ^ r) v (q v ¬r).

h) (r ^ ¬r) v r.

Las siguientes proposiciones constituyen unos axiomas conocidos como leyes tautológicas.

Ejemplo de las leyes de Morgan:

Para negar la proposición 7 es un número primo y 30 es divisible por 5, cambiamos “y” por “o” y negamos proposiciones simples que forman el enunciado.

7 no es un número primo o 30 no es divisible por 5.

Ejemplo: Escribir sin condicional las proposiciones siguientes:

a) (p ^ q) => r

b) p => (¬p v ¬p)

c) ¬p => ¬q

Solución:

a) (p ^ q) => r   ;  p => q <=> ¬p v q

(p ^ q) = A

A => r

¬A v r

¬(p ^ q) v r

b) p => (¬q v ¬r)

p = A

(¬q v ¬r) = B

¬A v B

¬p v(¬q v ¬r)

c)  ¬p => ¬q <=> ¬(¬p) v ¬q

¬p => ¬q <=> p v ¬q

Ejemplo:

Escribir una proposición a: si x es par entonces x es divisible por 2.

p: x es par

q: x es divisible por 2

p => q <=> ¬p v q

x no es par o x no es divisible por 2.

Ejemplo:

Probar que p => q <=> ¬p v q

Aplicaciones de las leyes proposicionales.

Ejemplo: Probar que ¬(p => q) <=> [p ^ (¬q)]

¬(p => q) <=> ¬(¬p v q) ———- AX 10

¬(p => q) <=> ¬(¬p) ^ ¬q ———Ley de M

¬(p => q) <=> p ^ q

Ejemplo:

(p ^ q) => p es tautología

(p ^ q) => p <=> ¬(p ^ q) v p  ———A 10

(p ^ q) => p <=> (¬p v ¬q) v p  ——– L de M

(p ^ q) => p <=> (¬p v p) v ¬q  ——–Ley conmutativa

(p ^ q) => p <=> [V] v ¬q ————-Ley del tercero excluido.

V Ley

tema # 2

operadores logicos 

Los operadores relacionales son símbolos que se usan para comparar dos valores. Si el resultado de la comparación es correcto la expresión considerada es verdadera, en caso contrario es falsa. Por ejemplo, 8>4 (ocho mayor que cuatro) es verdadera, se representa por el valor verdadero del tipo básico , en cambio, 8<4 (ocho menor que cuatro) es falsa, falso En la primera columna de la tabla, se dan los símbolos de los operadores relacionales, el la segunda, el nombre de dichos operadores, y a continuación su significado mediante un ejemplo.

Operador	nombre	ejemplo	significado
<	menor que	a<b	a es menor que b
>	mayor que	a>b	a es mayor que b
==	igual a	a==b	a es igual a b
!=	no igual a	a!=b	a no es igual a b
<=	menor que o igual a	a<=5	a es menor que o igual a b
>=	mayor que o igual a	a>=b	a es menor que o igual a b

Se debe tener especial cuidado en no confundir el operador asignación con el operador relacional igual a. Las asignaciones se realizan con el símbolo =, las comparaciones con ==.
En el programa RelacionApp, se compara la variable i que guarda un 8, con un conjunto de valores, el resultado de la comparación es verdadero (v), o falso (f).

los  operadores logicos

El operador lógico AND 

x	y	resultado
v	v	v
v	f	f
f	v	f
f	f	f

El operador lógico OR

x	y	resultado
v	f	v
v	f	v
v	v	v
f	f	f

El operador lógico NO

x	resultado
v	f
f	v

Los operadores , combinan expresiones relacionales cuyo resultado viene dado por la última columna de sus tablas de verdad. Por ejemplo:

 (a<b) && (b<c)

es verdadero (verdadero), si ambas son verdaderas. Si alguna o ambas son falsas el resultado es falso (falso). En cambio, la expresión

 (a<b) ||(b<c)

es verdadera si una de las dos comparaciones lo es. Si ambas, son falsas, el resultado es falso.
La expresión " NO a es menor que b"

 !(a<b) 

es falsa si (a<b) es verdadero, y es verdadera si la comparación es falsa. Por tanto, el operador NOT actuando sobre (a<b) es equivalente a

 (a>=b)

La expresión "NO a es igual a b"

 !(a==b) 

es verdadera si a es distinto de b, y es falsa si a es igual a b. Esta expresión es equivalente a

 (a!=b)

                     tema #3

clases de proposiciones 

Existen dos clases de proposiciones:
PROPOSICIONES SIMPLES: tambien denominadas proposiciones atómicas. Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir.
Ejemplos
El cielo es azul. 

PROPOSICIONES COMPUESTAS: tambien denominadas moleculares. Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por los operadores lógicos.
Ejemplos:

                                              

   Fui al banco, pero el banco estaba cerrado

 Los lectores de este libro son jóvenes o universitarios

 Si el miércoles próximo me saco la lotería entonces te regalare un auto. 

                                                    

 tema #  4

propiedades de los operadores logicos

Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falso o verdadero pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.

A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Ejemplo.

p: La tierra es plana.

q: -17 + 38 = 21

r: x > y-9

s: El Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol.

t: Hola ¿como estas?

w: Lava el coche por favor.

Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones validas. El inciso r también es una proposición valida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento. La proposición del inciso s también esta perfectamente expresada aunque para decir si es falsa o verdadera se tendría que esperar a que terminara la temporada de fut-bol. Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.

CLASIFICASION DE LAS PROPOSICIONES

Aquellas proposiciones que constan o se les puede representar por una sola variable, se llaman proposiciones simples o atómicas.

Por ejemplo, sea la proposición "p: 3 + 6 = 9" es una proposición simple o atómica.

Cuando una proposición consta de dos o más enunciados simples, se le llama proposición compuesta o molecular.

 Así, por ejemplo:

Encontramos dos enunciados. El primero (p) nos afirma que Pitágoras era griego y el segundo (q) que Pitágoras era geómetra.

CONECTIVOS LOGUICOS Y PROPOSICIONES COMPUESTAS

Existen conectores u operadores lógicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones).

Símbolo	Operación asociada	Significado
~ Ù Ú Þ Û Ú	Negación Conjunción o producto lógico Disyunción o suma lógica Implicación Doble implicación Diferencia simétrica	no p o no es cierto que p p y q p o q (en sentido incluyente) p implica q, o si p entonces q p si y sólo si q p o q (en sentido excluyente)

Los operadores o conectores básicos son:

1. Operador and (y)

Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Si símbolo es: {^, un punto (.), un paréntesis}. Se le conoce como la multiplicación lógica:

Ejemplo.

Sea el siguiente enunciado "El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería"

Sean:

p: El coche enciende.

q: Tiene gasolina el tanque.

r: Tiene corriente la batería.

De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue:

p = q ^ r

Su tabla de verdad es como sigue:

q	r	p = q ^ r
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Donde.

1 = verdadero

0 = falso

En la tabla anterior el valor de q=1 significa que el tanque tiene gasolina, r=1 significa que la batería tiene corriente y p = q ^ r=1 significa que el coche puede encender. Se puede notar que si q o r valen cero implica que el auto no tiene gasolina y que por lo tanto no puede encender.

q	r	p = q ^ r
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

 Operador (o)

Con este operador se obtiene un resultado verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Se indica por medio de los siguientes símbolos:

{^ ,+,^}. Se conoce como las sumas lógicas.

 Ejemplo.

Sea el siguiente enunciado "Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase". Donde.

p: Entra al cine.

q: Compra su boleto.

r: Obtiene un pase.

q	r	p =q^ r
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

3. Operador (no):

Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su complemento o negación (falso). Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos: {‘, ^, }.
Ejemplo.

p	p’
1	0
0	1

Además de los operadores básicos (and, or y not) existe el operador xor.

4. Operador xor:

Cuyo funcionamiento es semejante al operador or con la diferencia en que su resultado es verdadero solamente si una de las proposiciones es cierta, cuando ambas con verdad el resultado es falso.

En este momento ya se pueden representar con notación lógica enunciados más complejos
. Ejemplo

Sean las proposiciones:

p: Hoy es domingo.

q: Tengo que estudiar teorías del aprendizaje.

r: Aprobaré el curso.

El enunciado: "Hoy es domingo y tengo que estudiar teorías de aprendizaje o no aprobaré el curso". Se puede representar simbólicamente de la siguiente manera:

p ^ q ^ r

Por otro lado con ayuda de estos operadores básicos se pueden formar los operadores compuestos Nand (combinación de los operadores Not y And), Nor (combina operadores Not y Or) y Xnor (resultado de Xor y Not).

 

 

NEGACION

Dada una proposición p, se denomina la negación de p a otra proposición denotada por ~ p (se lee "no p") que le asigna el valor veritativo opuesto al de p. 

Por ejemplo:

p: Diego estudia matemática  

~ p: Diego no estudia matemática

Por lo que nos resulta sencillo construir su tabla de verdad:

p	~ p
V F	F V

Observamos aquí que al valor V de p, la negación le hace corresponder el valor F, y viceversa.

Se trata de una operación unitaria, pues a partir de una proposición se obtiene otra, que es su negación.

Ejemplo: 
 La negación de " p: todos los alumnos estudian matemática" es                 

~ p: no todos los alumnos estudian matemática o bien:          

~ p: no es cierto que todos los alumnos estudian matemática

~ p: hay alumnos que no estudian matemática

   CONJUNCION

Dadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p Ù q (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es:

p	q	p Ù q
V V F F	V F V F	V F F F

La tabla que define esta operación, establece que la conjunción es verdadera sólo si lo son las dos proposiciones componentes. En todo otro caso, es falsa.

Ejemplo: Sea la declaración: i) 

Vemos que está compuesta de dos proposiciones a las que llamaremos p y q, que son

p: 5 es un número impar

q: 6 es un número par

Por ser ambas verdaderas, la conjunción de ellas (que no es sino la declaración i) es verdadera.

Ahora bien, sea la declaración

ii) Hoy es el día 3 de noviembre y mañana es el día de 5 de noviembre

Esta conjunción es falsa, ya que no pueden ser simultáneamente verdaderas ambas proposiciones.

DISYUNCION 

 

Dadas dos proposiciones p y q, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p Ú q cuya tabla de valor de verdad es:

p	q	p Ú q
V V F F	V F V F	V V V F

La disyunción o es utilizada en sentido excluyente, ya que la verdad de la disyunción se da en el caso de que al menos una de las proposiciones sea verdadera. En el lenguaje ordinario la palabra o es utilizada en sentido incluyente o excluyente indistintamente. Para agotar toda posibilidad de ambigüedades, en matemática se utiliza la disyunción definida por la tabla precedente, que nos muestra que la disyunción sólo es falsa cuando ambas proposiciones son falsas.

Ejemplo:
 Sea  i)  Tiro las cosas viejas o que no me sirven

El sentido de la disyunción compuesta por p y q (p: tiro las cosas viejas, q: tiro las cosas que no me sirven) es incluyente, pues si tiro algo viejo, y que además no me sirve, la disyunción es V.

 

                   IMPLICASION O I CONDICIONAL

Implicación de las proposiciones p y q es la proposición p Þ q (si p entonces q) cuya tabla de valores de verdad es:

p	q	p Þ q
V V F F	V F V F	V F V V

La proposición p se llama antecedente, y la proposición q se llama consecuente de la implicación o condicional. La tabla nos muestra que la implicación sólo es falsa si el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

Ejemplo: Supongamos la implicación 

La implicación está compuesta de las proposiciones

p: apruebo

q: te presto el libro.

Nos interesa conocer la verdad o falsedad de la implicación i), en relación a la verdad o falsedad de las proposiciones p y q. El enunciado puede pensarse como un compromiso, condicionado por p, y podemos asociar su verdad al cumplimiento del compromiso. Es evidente que si p es F, es decir si no apruebo el examen, quedo liberado del compromiso y preste o no el apunte la implicación es verdadera.

Si p es verdadera, es decir si apruebo el examen, y no presto el libro, el compromiso no se cumple y la proposición i) es falsa. Si p y q son verdaderas, entonces la proposición i) es verdadera pues el compromiso se cumple.

Ejemplo: 1 = –1 Þ 1² = (–1)² (F)

La proposición resulta ser falsa por ser el antecedente (1 = –1) falso.

PROPOSICIONES CONDICIONAL

Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera:

p ® q Se lee "Si p entonces q"

Ejemplo.

El candidato del PRI dice "Si salgo electo presidente de la República recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año". Una declaración como esta se conoce como condicional. Su tabla de verdad es la siguiente:

Sean

p: Salió electo Presidente de la República.

q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año.

De tal manera que el enunciado se puede expresar de las siguiente manera.

p ® q

Su tabla de verdad queda de la siguiente manera:

p	q	p ® q
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

La interpretación de los resultados de la tabla es la siguiente:

Considere que se desea analizar si el candidato presidencial mintió con la afirmación del enunciado anterior.

 Cuando p=1; significa que salió electo, q=1 y recibieron un aumento de 50% en su sueldo, por lo tanto p ® q =1; significa que el candidato dijo la verdad en su campaña.

Cuando p=1 y q=0 significa que p ® q =0; el candidato mintió, ya que salió electo y no se incrementaron los salarios.

 
 Cuando p=0 y q=1 significa que aunque no salió electo hubo un aumento del 50% en su salario, que posiblemente fue ajeno al candidato presidencial y por lo tanto; tampoco mintió de tal forma que p ® q =1.

PROPOSICION BICONDICIONAL

 

Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicinal de la siguiente manera:

p « q Se lee "p si solo si q"

Esto significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es falsa si y solo si q también lo es.

Ejemplo: el enunciado siguiente es una proposición bicondicional

"Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez"

Donde:

p: Es buen estudiante.

q: Tiene promedio de diez.

Por lo tanto su tabla de verdad es.

p	q	p « q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

A partir de este momento, ya se está en condiciones de representar cualquier enunciado con conectores lógicos.

Ejemplo.

Sea el siguiente enunciado "Si no pago la luz, entonces me cortarán la corriente eléctrica. Y Si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré prestado. Y Si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si solo si soy desorganizado"

Donde:

p: Pago la luz.

q: Me cortarán la corriente eléctrica.

r: Me quedaré sin dinero.

s: Pediré prestado.

t: Pagar la deuda.

w: soy desorganizado.

(p’ ® q) Ù [ p ® (r Ú s) ] Ù [ (r Ù s) ® t’ ] « w

TABLAS DE VERAD

Una tabla de verdad de una  proposición da los valores de verdad de la Proposición  para todas las asignaciones posibles de las proposiciones atómicas

 A continuación se presenta un ejemplo para la proposición

 [(p ® q) Ú (q’ Ù r) ] « (r ® q).

p	q	r	q’	p® q	(q’Ù r)	(p® q)Ú (q’Ù r)	r® q	[(p® q)Ú (q’Ù r) ] « (r® q)
0	0	0	1	1	0	1	1	1
0	0	1	1	1	1	1	0	0
0	1	0	0	1	0	1	1	1
0	1	1	0	1	0	1	1	1
1	0	0	1	0	0	0	1	0
1	0	1	1	0	1	1	0	0
1	1	0	0	1	0	1	1	1
1	1	1	0	1	0	1	1	1

El número de líneas de la tabla de verdad depende del número de variables de la expresión y se puede calcular por medio de la siguiente formula.

No de líneas = 2ⁿ Donde n = número de variables distintas.

Es importante destacar a medida que se avanza en el contenido del material el alumno deberá participar activamente. Estos significa que cuando se esta definiendo proposiciones y características propias de ellas, además de los ejemplos que el maestro explique, el alumno deberá citar proposiciones diferentes, deberá entender el porque un enunciado no es válido. Cuando se ven conectores lógicos, los alumnos deberán saber emplearlos en la representación de proposiciones más complejas. Pero algo muy importante, es que los ejemplo que el maestro y los alumnos encuentren en la clase, deben ser de interés para el estudiante. Cuando se ven tablas de verdad el alumno deberá saber perfectamente bien el porque de cada uno de los resultados. En pocas palabras el conocimiento deberá ser significativo.

TAUTOLOGUIA 

Tautología, es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los valores de verdad de sus variables.

Un ejemplo típico es la contrapositiva cuya tabla de verdad se indica a continuación.

p	q	p’	q’	p® q	q’® p’	(p® q)« (q’® p’)
0	0	1	1	1	1	1
0	1	1	0	1	1	1
1	0	0	1	0	0	1
1	1	0	0	1	1	1

Note que en las tautologías para todos los valores de verdad el resultado de la proposición es siempre. Las tautologías son muy importantes en lógica matemática ya que se consideran leyes en las cuales nos podemos apoyar para realizar demostraciones.

A continuación me permito citar una lista de las tautologías más conocidas y reglas de inferencia de mayor uso en las demostraciones formales que obviamente el autor no consideró.

 

CONTRADICCION

Es aquella proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad, una de las mas  usadas y mas sencilla es p  p’ . Como lo muestra su correspondiente tabla de verdad.

p	p’	P   p’
0	1	0
1	0	0

     

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